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全國高中數學聯賽模擬試題

2014-5-20 5:58:05下載本試卷

全國高中數學聯賽模擬試題(一)

(命題人:吳偉朝)

第一試

一、     選擇題:(每小題6分,共36分)

1、 方程6×(5a2b2)=5c2滿足c≤20的正整數解(a,b,c)的個數是

(A)1      (B)3     (C)4     (D)5

2、 函數xRx≠1)的遞增區間是

(A)x≥2            (B)x≤0或x≥2

(C)x≤0            (D)xx

3、 過定點P(2,1)作直線l分別交x軸正向和y軸正向于AB,使△AOBO為原點)的面積最小,則l的方程為

(A)xy-3=0         (B)x+3y-5=0

(C)2xy-5=0         (D)x+2y-4=0

4、 若方程cos2xsin2xa+1在上有兩個不同的實數解x,則參數a的取值范圍是

(A)0≤a<1           (B)-3≤a<1

(C)a<1            (D)0<a<1

5、 數列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項是

(A)42     (B)45   (C)48   (D)51

6、 在1,2,3,4,5的排列a1,a,a3,a4,a5中,滿足條件a1a2a2a3a3a4a4a5的排列的個數是

(A)8      (B)10     (C)14     (D)16

二、     填空題:(每小題9分,共54分)

1、[x]表示不大于x的最大整數,則方程×[x2x]=19x+99的實數解x     

2、設a1=1,an+1=2ann2,則通項公式an        

3、數799被2550除所得的余數是         

4、在△ABC中,∠A,sinB,則cosC       

5、設k是實數,使得關于x的方程x2-(2k+1)xk2-1=0的兩個根為sin和cos,則的取值范圍是         

6、數nN)的個位數字是        

三、     (20分)

已知xyz都是非負實數,且xyz=1.

求證:x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)≥0,并確定等號成立的條件.

四、     (20分)

(1)    求出所有的實數a,使得關于x的方程x2+(a+2002)xa=0的兩根皆為整數.

(2)    試求出所有的實數a,使得關于x的方程x3+(-a2+2a+2)x-2a2-2a=0有三個整數根.

五、     (20分)

試求正數r的最大值,使得點集T={(x,y)xyR,且x2+(y-7)2r2}一定被包含于另一個點集S={(x,y)xyR,且對任何R,都有cos2xcosy≥0}之中.

第二試

一、(50分)

    設abcRbaca≠-cz是復數,且z2-(ac)zb=0.

    求證:的充分必要條件是(ac)2+4b≤0.

二、(50分)

     如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB均是銳角,DBC邊上的內點,且AD平分∠BAC,過點D分別向兩條直線ABAC作垂線DPDQ,其垂足是PQ,兩條直線CPBQ相交與點K.求證:

(1)    AKBC

(2)    ,其中表示△ABC的面積.

  

三、(50分)

       給定一個正整數n,設n個實數a1,a2,…,an滿足下列n個方程:

    確定和式的值(寫成關于n的最簡式子).


參考答案

第一試

一、選擇題:

題號

1

2

3

4

5

6

答案

C

C

D

A

B

D

二、填空題:

  1、;         2、7×2n-1­­n2-2n-3;

  3、343;               4、

  5、{=2n或2nnZ}  ;6、1(n為偶數);7(n為奇數).

三、證略,等號成立的條件是

四、(1)a的可能取值有0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040;(2)a的可能取值有-3,11,-1,9.

五、rmax

第二試

一、證略(提示:直接解出,通過變形即得充分性成立,然后利用反證法證明必要性).

二、證略(提示:用同一法,作出BC邊上的高AR,利用塞瓦定理證明ARBQCP三線共點,從而AKBC;記ARPQ交于點T,則ARATAQAP,對于AKAP,可證∠APK<∠AKP).

三、

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