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全國高中數學聯賽模擬試題

2014-5-20 5:58:04下載本試卷

全國高中數學聯賽模擬試題(十)

(命題人:楊建忠 審題人:李潛)

第一試

一、選擇題:(每小題6分,共36分)

1、 設集合M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射fMN使對任意的xM,都有x+f(x)+xf(x)是奇數,則這樣的映射f的個數是

(A)45     (B)27     (C)15     (D)11

2、 已知sin2=a,cos2=b,0<,給出值的五個答案:

;    ②;    ③;    ④;  ⑤

其中正確的是:

(A)①②⑤   (B)②③④   (C)①④⑤   (D)③④⑤

3、 若干個棱長為2、3、5的長方體,依相同方向拼成棱長為90的正方體,則正方體的一條對角線貫穿的小長方體的個數是

(A)64      (B)66     (C)68    (D)70

4、 遞增數列1,3,4,9,10,12,13,…,由一些正整數組成,它們或者是3的冪,或者是若干個3的冪之和,則此數列的第100項為

(A)729      (B)972    (C)243   (D)981

5、 (其中,[x]表示不超過x的最大整數)的值為

(A)            (B)

(C)     (D)

6、 一個五位的自然數稱為“凸”數,當且僅當它滿足abccde(如12430,13531等),則在所有的五位數中“凸”數的個數是

(A)8568      (B)2142    (C)2139    (D)1134

二、填空題:(每小題9分,共54分)

1、 過橢圓上任意一點P,作橢圓的右準線的垂線PHH為垂足),并延長PHQ,使得HQ=PH≥1).當點P在橢圓上運動時,點Q的軌跡的離心率的取值范圍是     

   

2、 已知異面直線ab所成的角為60°,過空間一點P作與ab都成角(0<<90°)的直線l,則這樣的直線l的條數是f()=     

3、 不等式的解集為          

4、 設復數z滿足條件z-i=1,且z≠0,z≠2i,又復數使得為實數,則復數-2的輻角主值的取值范圍是       

5、 設a1,a2,…,a2002均為正實數,且,則a1a2a2002的最小值是         

6、 在一個由十進制數字組成的數碼中,如果它含有偶數個數字8,則稱它為“優選”數碼(如12883,等),否則稱它為“非優選”數碼(如,958288等),則長度不超過nn為自然數)的所有“優選”數碼的個數之和為       

三、(20分)

      已知數列{an}是首項為2,公比為的等比數列,且前n項和為Sn

(1)    用Sn表示Sn+1

(2)    是否存在自然數ck,使得>2成立.

四、(20分)

設異面直線ab成60°角,它們的公垂線段為EF,且EF=2,線段AB的長為4,兩端點AB分別在ab上移動.求線段AB中點P的軌跡方程.

五、(20分)

已知定義在R+上的函數f(x)滿足

    (i)對于任意abR+,有f(ab)=f(a)+f(b);

    (ii)當x>1時,f(x)<0;

    (iii)f(3)=-1.

現有兩個集合AB,其中集合A={(p,q)f(p2+1)-f(5q)-2>0,pqR+},集合B={(p,q)f()+=0,pqR+}.試問是否存在pq,使,說明理由.

第二試

一、(50分)

如圖,AMAN是⊙O的切線,MN是切點,L是劣弧MN上異于MN的點,過點A平行于MN的直線分別交MLNL于點QP.若,求證:∠POQ=60°.

二、(50分)

已知數列a1=20,a2=30,an+2=3an+1-ann≥1).求所有的正整數n,使得1+5anan+1是完全平方數.

三、(50分)

M為坐標平面上坐標為(p·2002,7p·2002)的點,其中p為素數.求滿足下列條件的直角三角形的個數:

(1)    三角形的三個頂點都是整點,而且M是直角頂點;

(2)    三角形的內心是坐標原點.

參考答案

第一試

一、選擇題:

題號

1

2

3

4

5

6

答案

A

C

B

D

D

B

二、填空題:

  1、;              2、

  3、;        4、

  5、40022002;             6、

三、(1);          (2)不存在.

四、

五、不存在.

第二試

一、證略;

二、n=3.

三、 p≠2,7,11,13時,324個;p=2時,162個;p=7,11,13時,180個.

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