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全國高中數學聯賽模擬試題

2014-5-20 5:58:03下載本試卷

全國高中數學聯賽模擬試題(九)

(命題人:葛軍)

第一試

一、選擇題:(每小題6分,共36分)

1、已知ns是整數.若不論n是什么整數,方程x2-8nx+7s=0沒有整數解,則所有這樣的數s的集合是

(A)奇數集           (B)所有形如6k+1的數集

(C)偶數集           (D)所有形如4k+3的數集

2、某個貨場有1997輛車排隊等待裝貨,要求第一輛車必須裝9箱貨物,每相鄰的4輛車裝貨總數為34箱.為滿足上述要求,至少應該有貨物的箱數是

(A)16966    (B)16975   (C)16984   (D)17009

3、非常數數列{ai}滿足,且i=0,1,2,…,n.對于給定的自然數na1=an+1=1,則等于

(A)2      (B)-1     (C)1      (D)0

4、已知是方程ax2+bx+c=0(abc為實數)的兩根,且是虛數,是實數,則的值是

(A)1      (B)2     (C)0      (D)i

5、已知a+b+c=abc,則A的值是

(A)3      (B)-3    (C)4      (D)-4

6、對xi∈{1,2,…,n},i=1,2,…,n,有x1x2xn=n!,使x1,x2,…,xn,一定是1,2,…,n的一個排列的最大數n

(A)4      (B)6     (C)8      (D)9

二、填空題:(每小題9分,共54分)

1、設點P是凸多邊形A1A2An內一點,點P到直線A1A2的距離為h1,到直線A2A3的距離為h2,…,到直線An-1An的距離為hn-1,到直線AnA1的距離為hn.若存在點P使ai=AiAi+1i=1,2,…,n-1,an=AnA1)取得最小值,則此凸多邊形一定符合條件     

2、已知a為自然數,存在一個以a為首項系數的二次整數系數的多項式,它有兩個小于1的不同正根.那么,a的最小值是    

3、已知aRa≠0.那么,對于任意的aF(a,)的最大值和最小值分別是         

4、已知t>0,關于x的方程為,則這個方程有相異實根的個數情況是   

      

5、已知集合{1,2,3,…,3n-1,3n},可以分為n個互不相交的三元組{x,y,z},其中x+y=3z,則滿足上述要求的兩個最小的正整數n      

6、任給一個自然數k,一定存在整數n,使得xn+x+1被xk+x+1整除,則這樣的有序實數對(n,k)是(對于給定的k       

三、(20分)

      過正方體的某條對角線的截面面積為S,試求之值.

四、(20分)

數列{an}定義如下:a1=3,an=n≥2).試求ann≥2)的末位數.

五、(20分)

      已知abcR+,且a+b+c=1.

      證明:a2+b2+c2+4abc<1.

第二試

一、(50分)

已知△ABC中,內心為I,外接圓為⊙O,點B關于⊙O的對徑點為K,在AB的延長線上取點NCB的延長線上取M,使得MC=NA=ss為△ABC的半周長.證明:IKMN

二、(50分)

M是平面上所有點(x,y)的集合,其中xy均是整數,且1≤x≤12,1≤y≤13.證明:不少于49個點的M的每一個子集,必包含一個矩形的4個頂點,且此矩形的邊平行于坐標軸.

三、(50分)

實系數多項式f(x)=x3+ax2+bx+c滿足b<0,ab=9c.試判別此多項式是否有三個不同的實根,說明理由.

參考答案

第一試

一、選擇題:

題號

1

2

3

4

5

6

答案

C

B

D

C

C

C

二、填空題:

  1、該凸多邊形存在內切圓;    2、5;

  3、;        4、9;

  5、5,8;              6、(k,k)或(3m+2,2)(mN+).

三、

四、7.

五、證略.

第二試

一、證略;

二、證略.

三、 有.

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