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2006年7月溫州第七屆青少年數學國際城市邀請賽團體賽試題與解答

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2006 Wenzhou Invitational World Youth Mathematics Intercity Competition

2006青少年數學國際城市邀請賽

隊際賽試題      2006/7/12 溫州市

隊名:___________________得分:__________________

1.   老師說:「要在一個三邊長為2,2,2x的三角形內部放置一個盡可能大的圓,則正實數x的值該是多少?」

學生A說:「我想x=1。」

學生B說:「我認為。」

學生C說:「你們回答都不對!」

他們三人誰的回答是正確的?為什麼?

解答:一方面三角形的面積=;另一方面,該三角形底邊上的高為,所以三角形面積。可得

時,; 當時,

,則,所以是一個更好的選擇。所以學生C的回答正確。

註:當時,可取到r的最大值

2.    一個三角形可被剖分成兩個等腰三角形,原三角形的一個內角為36˚,求原三角形最大內角的所有可能值。

解答:(1)若剖分線不過點B。不妨設剖分線為AD,此時△BAD或者的三角形。

若△BAD的三角形,則△CAD或者是第一個圖,或者是第二個圖,或者第三、四個圖.

(2) 若剖分線過點B。不妨設為BE,則△CBE必定是,△ABE的三角形。

所以原三角形的最大內角可能是

3.   四個單位正方形以邊對邊相連接而成,可以拼成如圖五種不同的形狀。用一片“L”形(圖中第一個)分別與其餘四個中的一片拼成軸對稱圖形,請繪出所有可能之組合。


解答

4.    一片骨牌是由兩個單位正方形以邊對邊相連接而成,在每個正方形內標記上數字1、2、3、4或5,所以我們共可得標號為11,12,13,14,15,22,23,24,25,33,34,35,44,45,55的15片不同的骨牌。將這15片骨牌排成一個如圖的5×6的長方形,每片骨牌的邊界已經擦除,請試著把這些骨牌的邊界重新畫出來。

解答:首先,注意到編號為55的骨牌一定是在矩形的中心,而編號22的骨牌只能是在右邊界處。此時,右上角編號為3的骨牌必與右側的2一起組成編號為23的骨牌.。所以,右下角的2只能與5一起組成編號為25的骨牌,而這個2上面的3只能組成33骨牌.。所以,可在圖中,把剩下的33、23對之間用一條線分隔.第三行的3只能與其上的5組成35編號的骨牌.如左圖。

這時,第一行的5不能與其左側的3組成35編號的骨牌,只能與其下的1組成編號為15的骨牌。這使得左側只能為13、34編號的骨牌,這樣,左上角的骨牌為11和24。

在右下角,必須出現編號為12的骨牌,此時,其餘的骨牌也就確定了。

5.   “幸運數”是指一個等於其各位數碼 (十進位) 和的19倍的正整數,求出所有的幸運數。

解答:設10 ab是一個至多兩位數,方程 10 a + b = 19 (a + b) 僅當 a = b = 0時成立。所以,所有的幸運數至少是三位數。

假設一個幸運數有m位數,,則該數至少為,其數碼和至多為 9m,所以,

m = 4時,不成立。而 ,更不成立。因此,所有的幸運數都是三位數,由100a + 10b + c = 19a + 19b + 19c,知 9a = b + 2c

a = 1時,可得 (bc) = (1,4),(3,3),(5,2),(7,1),(9,0)。

a = 2時,可得 (bc) = (0,9),(2,8),(4,7),(6,6),(8,5)。

a = 3時,可得 (bc) = (9,9)。

a > 3時,無解。

所以共有 11 個幸運數: 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247, 266, 285 和 399。

6.    甲和乙在一個n´n的方格表中做填數遊戲,每次允許在一個方格中填入數字0或者1(每個方格中只能填入一個數字),由甲先填,然後輪流填數,直至表格中每個小方格內都填了數。如果每一行中各數之和都是偶數,則規定為乙獲勝,否則當作甲獲勝。請問:

(1) 當n=2006時,誰有必勝的策略?

(2) 對於任意正整數n,回答上述問題。

解答:(1) 當n=2006時,後填數的乙有必勝策略。用1´2的多米諾骨牌對表格進行分割,使得每一行都由1003塊多米諾組成,當甲對某塊多米諾的一個中填數時,乙也在該多米諾中填數,並且使得這塊多米諾中兩個數之和為偶數。依此策略,乙可以使得表格的每一行中各數之和都是偶數。故乙獲勝。

(2) 當n為偶數時,同上述操作,可知乙有必勝策略;當n為奇數時,甲有必勝策略:他可以先在第1行第1列的方格中寫上1,然後對第1行中其餘方格作前面的多米諾分割,採取同樣的操作方式,可使表格中第1行中各數之和為奇數。

7.    設n為任意奇正整數,證明:+能被2006整除。

證明:因為 ,所以為證結論成立,只需證為奇正整數時,能被2,17,59整除。顯然,運算式能被2整除。

應用公式,為奇數時,

則由於,所以能被59整除。

又1596-270=1326=17×78,1000-320=680=17×40,所以 能被17整除。

故結論成立。

8.    將正整數中所有被4整除以及被4除餘1的數全部刪去,剩下的數依照從小到大的順序排成一個數列:2, 3, 6, 7, 10, 11, … 。

數列的前n項之和記為,其中n=1, 2, 3, …。

求S=的值。(其中表示不超過x的最大整數)

解答:易知,因此

 

所以     

,從而,於是

9.    平面上,正三角形ABC與正三角形PQR的面積都為1。三角形PQR的中心M在三角形ABC的邊界上,如果這兩個三角形重疊部份的面積為S,求S的最小值。

解答:在正△PQR的三個頂點處截去三個全等的正三角形,得到一個面積為的正六邊形,則M是這個正六邊形的中心。

若點M與△ABC的一個頂點重合,如左圖,易知正六邊形和△ABC的重疊部分面積是。在中間的圖形中,把△ABC繞著點M順時針旋轉,則始邊所掃過的三角形和終邊所掃過的三角形全等,所以兩個三角形的公共部分面積是不變的。

若點M在△ABC的邊上,不妨設在BC上,且靠近點C,如右圖所示.,過點MAC的平行線MN,交邊AB於點N,則△BMN是正三角形.。因為BMMN都與正六邊形相交,所以△BMN與正六邊形的公共部分面積為

當把正六邊形恢復成原來的正三角形時,公共部分面積不會減小.,所以兩個三角形公共部分面積的最小值為,如左圖。

10. 設m是一個小於2006的四位數,已知存在正整數n,使得mn為質數,且mn是一個完全平方數,求滿足條件的所有四位數m

解答 由題設條件知:mn=pp是質數,則m=n+p,設mn=n(n+p)=,其中x是正整數,那麼

即               

於是           

注意到p為質數,所以

把兩式相加得,進而,結合,可得,於是,質數p只能是67,71,73,79或83。從而,滿足條件的m為1156,1296,1369,1600,1764。

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